Question

給出下列命題：
①存在實數α，使sinα•cosα=1；
②存在實數α，使sinα+cosα=

3

2

；
③函數y=sin(

3

2

π+x)是偶函數；
④x=

π

8

是函數y=sin(2x+

5

4

π)的一條對稱軸方程；
⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ；
其中正確命題的序號是

③④

．

Answer 1

分析：由二倍角的正弦公式結合正弦的最大值為1，可得①不正確；利用輔助角公式，可得sinα+cosα的最大值為

2

，小于

3

2

，故②不正確；用誘導公式進行化簡，結合余弦函數是R上的偶函數，得到③正確；根據y=Asin（ωx+∅）圖象對稱軸的公式，可得④正確；通過舉出反例，得到⑤不正確．由此得到正確答案．

解答：解：對于①，因為sinα•cosα=

1

2

sin2α≤

1

2

，故不存在實數α，使sinα•cosα=1，所以①不正確；
對于②，因為sinα+cosα=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，而

3

2

＞

2

，
說明不存在實數α，使sinα+cosα=

3

2

，所以②不正確；
對于③，因為sin(

3

2

π+x)=-cosx，而cosx是偶函數，所以函數y=sin(

3

2

π+x)是偶函數，故③正確；
對于④，當x=

π

8

時，函數y=sin(2x+

5

4

π)的值為sin

3π

2

=-1為最小值，
故x=

π

8

是函數y=sin(2x+

5

4

π)的一條對稱軸方程，④正確；
對于⑤，當α=

13π

6

、β=

π

3

時，都是第一象限的角，且α＞β，
但sinα=

1

2

＜

3

2

=sinβ，故⑤不正確．
故答案為：③④

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了二倍角的正弦公式、三角函數的奇偶性和圖象的對稱軸等知識，屬于中檔題．