Question

某軍工企業生產一種精密電子儀器的固定成本為20 000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數：

R(x)=，其中x是儀器的月產量.

(1)將利潤表示為月產量的函數.

(2)當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少元？(總收益=總成本+利潤)

Answer 1

思路分析：本題主要考查二次函數及其最值，以及應用二次函數解決實際問題的能力.(1)利潤=總收益-總成本；(2)轉化為求函數的最值，由于此函數是分段函數，則要求出各段上的最大值，再從中找出函數的最大值.

解：(1)設月產量為x臺，則總成本為20 000+100x，從而利潤

f(x)=

(2)當0≤x≤400時，f(x)=(x-300)²+25 000,所以當x=300時，有最大值25 000；

當x＞400時，f(x)=60 000-100x是減函數，

所以f(x)＜60 000-100×400＜25 000.

所以當x=300時，有最大值25 000,

即當月產量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是25 000元.

綠色通道：二次函數模型是一種常見的函數應用模型，是高考的重點和熱點.其解題關鍵是列出二次函數解析式，即建立函數模型，轉化為求二次函數的最值等問題.