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某軍工企業生產一種精密電子儀器的固定成本為20000元,每生產一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數:R(x)=
400x-
1
2
x2
,0≤x≤400
80000,x>400
其中x是儀器的月產量.
(1)將利潤表示為月產量的函數;
(2)當月產量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤是多少元?(總收益=總成本+利潤.)
分析:(1)先設月產量為x臺,寫出總成本進而得出利潤函數的解析式;
(2)分兩段求出函數的最大值:當0≤x≤400時,和當x>400時,最后得出當月產量為多少臺時,公司所獲利潤最大及最大利潤即可.
解答:解:(1)設月產量為x臺,則總成本為20000+100x,
從而利潤f(x)=
-
1
2
x2+300x-20000,0≤x≤400
60000-100x,x>400.

(2)當0≤x≤400時,f(x)=-
1
2
(x-300)2+25000

所以當x=300時,有最大值25000;
當x>400時,f(x)=60000-100x是減函數,
所以f(x)=60000-100×400<25000.
所以當x=300時,有最大值25000,
即當月產量為300臺時,公司所獲利潤最大,最大利潤是25000元.
點評:函數模型為分段函數,求分段函數的最值,應先求出函數在各部分的最值,然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值,取各部分的最小者為整個函數的最小值.
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