Question

已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0時，f（x）＞0，證明：f（x）在R上為增函數；
（3）在條件（2）下，若f（1）=2，解不等式：f（x²+1）-f（2x+5）＜4．

Answer 1

（1）解：∵x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=y=0，得f（0）=0；又令y=-x得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
所以f（-x）=-f（x），因此f（x）是R上的奇函數；…（4分）
（2）證明：設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），因此f（x）在R上為增函數；…（9分）
（3）解：∵f（1）=2，∴f（2）=2f（1）=4…（11分）
由f（x²+1）-f（2x+5）＜4，可得f（x²+1）＜f（2x+5）+f（2）
∴f（x²+1）＜f（2x+7）
由（2）可得x²+1＜2x+7，即x²-2x-6＜0
解得…（14分）
分析：（1）利用條件x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y），分別賦值，令x=y=0，及y=-x，利用奇函數的定義可得結論；
（2）根據單調性的證題步驟：取值、作差、變形、定號、下結論，即可證明；
（3）先計算f（2）=2f（1）=4，再將抽象函數不等式轉化為具體不等式，解不等式，即可得出結論．
點評：本題重點考查抽象函數的性質證明與運用，考查賦值法的運用，考查學生分析解決問題的能力．