Question

已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0時，f（x）＞0證明：f（x）在R上為增函數；
（3）已知f（1）=2，求f（x）在[-3，3]的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）賦值法：令x=y=0，可求得f（0），再令y=-x，可得f（-x）與f（x）的關系，根據奇偶性的定義即可判斷；
（2）定義法：設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，通過作差及f（x+y）=f（x）+f（y）可證明f（x₂）＞f（x₁）；
（3）根據所給條件可判斷f（x）的單調性，由單調性及f（1）=2即可求得最值；

解答：（1）解：令x=y=0，得f（x）=0，
令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），
因此f（x）是R上的奇函數．
（2）證明：設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁）．
故f（x）在R上是增函數．
（3）解：因為f（1）=2，f（x+y）=f（x）+f（y），
所以所有的正數都可以用f（1）=2表示出來，且f（x）在[-3，3]上為增函數，
所以最大值為f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=6，
最小值為f（-3）=-f（3）=-6，
故所求最大值是6，最小值是-6．

點評：本題考查抽象函數的奇偶性、單調性及函數最值的求解，抽象函數問題主要運用定義解決．