Question

已知二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在區間[-1，2]上求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）設出二次函數的一般形式后，代入f（x+1）-f（x）=2x，化簡后根據多項式相等，各系數相等即可求出a，b及c的值，即可確定出f（x）的解析式；
（II）由（1）中函數的解析式，分析函數在f（x）在區間[-1，2]上的單調性，進而求出最值，得到y=f（x）的值域．

解答：解：（I）令f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，
2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
解得a=1，b=-1
又∵f（0）=c=1
∴f（x）=x²-x+1；
（II）∵函數f（x）=x²-x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=

1

2

為對稱軸的拋物線
故函數f（x）在區間[-1，

1

2

]上為減函數，區間[

1

2

，2]上為增函數
故當x=-1，或x=2時，函數f（x）取最大值3，
當x=

1

2

時，函數f（x）取最小值

3

4

故y=f（x）的值域為[

3

4

，3]

點評：本題考查的知識點是函數解析式的求法，及二次函數在閉區間上的最值，熟練掌握待定系數法求函數解析式的步驟及二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．