Question

己知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，不等式所表示的平面區域的面積為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左項點為A，上頂點為B，圓M過A、B兩點．當圓心M與原點O的距離最小時，求圓M的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓C的離心率為，可得a=b，根據不等式所表示的平面區域的面積為，可得，由此可求得a，b的值，從而可得橢圓C的方程；
（2）確定AB的垂直平分線L的方程，當圓心M與原點O的距離最小時，OM⊥L，可得OM的方程，聯立可得M的坐標與圓的半徑，從而可得圓M的方程．
解答：解：（1）∵橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，∴
∴a=b①
根據對稱性，可得不等式所表示的平面區域是橢圓C的四個頂點為頂點的菱形
∵不等式所表示的平面區域的面積為．
∴②
由①②解得a=4，b=2
∴橢圓C的方程為；
（2）由題意，A（-4，0），B（0，2），可得AB的垂直平分線L的方程為：=0
點M在L上，當圓心M與原點O的距離最小時，OM⊥L，可得OM的方程為：
解方程組得x=-，y=-
∴M（），此時
∴圓M的方程為．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓的方程，確定圓的圓心與半徑是關鍵．