Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx的極小值為-4，f′（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[2，3]時，求g（x）=f′（x）+6（m-2）x的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）導數f′（x）＞0的x的取值范圍{x|1＜x＜3}得到1和3分別為函數的極小值和極大值點即f′（1）=0且f′（3）=0，且有f（1）=-4，三者聯立即可求出a、b和c的值，得到f（x）的解析式
（II）求出g（x）=f′（x）+6（m-2）x的解析式，利用二次函數的圖象和性質，分類討論后可得當x∈[2，3]時，求g（x）=f′（x）+6（m-2）x的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，a＞0，
又∵f′（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}．
∴1，3分別為f（x）的極小值，極大值點，且a＞0，
∴f′（1）=0，f′（3）=0，f（1）=-4
∴

a+b+c=-4 3a+2b+c=0 27a+6b+c=0

，
解得a=-1，b=6，c=-9，
∴f（x）=-x³+6x²-9x，
（II）g（x）=f′（x）+6（m-2）x
=-3x²+12x-9+6（m-2）x
=-3x²+6mx-9
其圖象是開口朝下，且以直線x=m為對稱軸的拋物線
當m＞3時，g（x）在區間[2，3]上為增函數，
此時當x=3時，g（x）取最大值18m-36
當2≤m≤3時，g（x）在區間[2，m]上為增函數，在區間[m，3]上為減函數，
此時當x=m時，g（x）取最大值3m²-9
當m＜2時，g（x）在區間[2，3]上為減函數，
此時當x=2時，g（x）取最大值12m-21

點評：本題考查的知識點是利用導數求區間上函數的極值，求函數的解析式，二次函數在定區間上的最值問題，解答（I）的關鍵是熟練掌握函數極值點與導數零點的關系，解答（II）的關鍵是對區間與函數圖象對稱軸的關系進行分類討論．