Question

已知函數f（x）=e^x-x-a．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≥0對任意x∈R都成立，求g（a）=1+a|a-3|的最大值；
（3）當a＞1時，求關于x的方程e^x-x-a=0的根的個數．

Answer 1

分析：（1）直接利用函數的導數，求解函數f（x）的單調區間；
（2）f（x）≥0對任意x∈R都成立，利用（1）推出g（a）=1+a|a-3|的表達式，然后通過二次函數求出表達式的最大值；
（3）利用（1）當a＞1時，結合函數的最值，函數的單調性推出關于x的方程e^x-x-a=0的根的個數．

解答：解：（1）f（x）=e^x-x-a，故f′（x）=e^x-1，由f′（x）=e^x-1=0，
得x=0，當x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f′（x）＞0，
故函數f（x）的單調減區間為（-∞，0），增區間為（0，+∞）；   …（5分）
（2）若f（x）≥0對任意x∈R都成立，則a≤（e^x-x）_min，
由（1）得當求x=0時，（e^x-x）_min=1，故a≤1，
∴g(a)=1+a|a-3|=-a2+3a+1=-(a-

3

2

)2+

13

4

，
∴當a=1時，g（a）_max=1+|1-3|=3；  …（10分）
（3）由（1）得f（x）_min=f（0）=1-a，當a＞1時，f（0）＜0，
又∵f（-a）=e^-a＞0，且x→+∞時，f（x）→+∞，
故關于x的方程e^x-x-a=0的根的個數為2個．                …（14分）

點評：本題考查函數的導數判斷函數的單調性，函數的最值的應用，考查函數的零點，考查分析問題解決問題的能力．