Question

若曲線f（x）=x²（x＞0）在點（a，f（a））處的切線與兩條坐標軸圍成的三角形的面積為54，則a=（　　）

• A、3
• B、6
• C、9
• D、18

Answer 1

分析：求函數的導數，利用導數的幾何意義求切線方程，然后求切線與坐標軸的交點坐標，然后根據三角形的面積公式求a即可．

解答：解：∵f（x）=x²（x＞0），
∴f'（x）=2x，
∴在點（a，f（a））處的切線斜率k=f'（a）=2a，（a＞0）．
且f（a）=a²，
∴切線方程為y-a²=2a（x-a），即y=2ax-a²，
令x=0，則y=-a²，
令y=0，則x=

a

2

，即切線與坐標軸的交點坐標為（0，-a²），（

a

2

，0），
∴三角形的面積為

1

2

×

a

2

×a2=

a3

4

=54，
即a³=4×54=216=6³，
∴a=6．
故選：B．

點評：本題主要考查導數的幾何意義以及導數的基本運算，要求熟練掌握導數的基本運算．