Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分別是棱B₁C₁、B₁B₁、C₁D₁的中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥平面EAB；
（Ⅱ）是否存在過E、M點且與平面A₁FC平行的平面？若存在，請指出并證明之；若不存在，請說明
理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證CF⊥平面EAB，可證CF⊥BE，CF⊥AB，其中CF⊥BE可由△BB₁E≌△BCF得到∠B₁BE=∠BCF，從而∠BCF+∠EBC=90°，根據線面垂直的判定定理進行判定即可；
（2）先找出符合題意的平面，然后進行證明，欲證平面EMN∥平面A₁FC，根據面面平行的判定定理可知只需在一個平面內找兩相交直線與另一平面平行，而EN∥平面A₁FC，MN∥平面A₁FC，EN∩MN=N，滿足定理條件．
解答：（I）證明：在正方形B₁BCC₁中，∵E、F分別為B₁C₁、B₁B的中點，
∴△BB₁E≌△BCF，∴∠B₁BE=∠BCF，
∴∠BCF+∠EBC=90°，∴CF⊥BE
又AB⊥平面B₁BCC₁，CF?平面B₁BCC₁，∴AB⊥CF，
又∵AB∩BE=B，∴CF⊥平面EAB．
（II）設N是棱C₁C上的一點，且C₁N=C₁C，
則平面EMN為符合要求的平面．
證明如下：
設H為棱C₁C的中點，∵C₁N=C₁C，
∴C₁N=C₁H，又E為B₁C₁的中點，∴EN∥B₁H，
又CF∥B₁H，∴EN∥CF，∴EN∥平面A₁FC
同理MN∥D₁H，D₁H∥A₁F，
∴MN∥A₁F，∴MN∥平面A₁FC．
EN∩MN=N，∴平面EMN∥平面A₁FC．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及平面與平面平行的判定，這種題型是高考的趨勢，屬于基礎題．