Question

已知實數x，y滿足不等式組

y≤x  x+2y≤4  y≥ 1 2 x+m

且z=x²+y²+2x-2y+2的最小值為2．則實數m的取值范圍為（　　）

• A．（-∞，0）
• B．（-∞，0]
• C．（-∞，

  4

  3

  ]
• D．（0，

  4

  3

  ]

Answer 1

分析：先根據z=x²+y²+2x-2y+2=（x+1）²+（y-1）²，利用幾何意義：點P（x，y）到點（-1，1）距離的平方來求最值，只需求出可行域內滿足最小值時，可行域的范圍，即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：先根據約束條件畫出可行域，
其中目標函數：z=x²+y²+2x-2y+2=（x+1）²+（y-1）²，
表示可行域內點P（x，y）到（-1，1）距離的平方，如圖，
因點P到直線y=x的距離即為

2

，即z=x²+y²+2x-2y+2的取值為2，
觀察圖形可知，當直線y=

1

2

x+m在y軸上的截距小于等于0時，此時z=x²+y²+2x-2y+2的最小值為2．即m≤0．
故選B．

點評：本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．解決時，首先要解決的問題是明白題目中目標函數的意義．