Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（2）=0，[xf（x）]′＞0（x＞0），則不等式f（x）≤0的解集是

（-∞，-2]∪[0，2]

．

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），利用函數(shù)F（x）的單調(diào)性研究函數(shù)f（x）≤0的解集問(wèn)題．

解答：解：設(shè)F（x）=xf（x），因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以F（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，[xf（x）]′＞0，即F（x）單調(diào)遞增，因?yàn)閒（2）=0，所以F（2）=0，F(xiàn)（-2）=0．
F（0）=0．
所以F（x）取值的草圖為：（圖象知體現(xiàn)單調(diào)性）．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≤0與F（x）=xf（x）≤0同解，
由圖象可知，此時(shí)0＜x≤2．
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）≤0，則F（x）=xf（x）≥0，此時(shí)x≤-2．
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0≤0也成立．
綜上不等式f（x）≤0的解為：0≤x≤2或x≤-2．
即不等式f（x）≤0的解集（-∞，-2]∪[0，2]．
故答案為：（-∞，-2]∪[0，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，
構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），利用F（x）的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．