Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均為實常數，且a≠0），滿足條件f（0）=f（2）=0，且方程f（x）=2x有兩個相等的實數根．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）試確定一個區間P，使得f（x）在P內單調遞減且不等式f（x）≥0在P內恒成立；
（3）是否存在這樣的實數m、n，滿足m＜n，使得f（x）在區間[m，n]內的取值范圍恰好是[4m，4n]？如果存在，試求出m、n的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得4a+2b+c=0，c=0，（b-2）²-4ac=0，聯合解之即可；
（2）分析函數的圖象，可知區間P=[1，2]，滿足題意；（3）假設存在實數m、n（m＜n）滿足題意，配方可得m＜n≤，進而可得函數在區間[m，n]單調遞增，則有f（m）=4m，f（n）=4n，解之即可．
解答：解：（1）由f（2）=f（0）=0可知，4a+2b+c=0，c=0，
又f（x）=2x有兩個相等實根，故（b-2）²-4ac=0，
可解得a=-1，b=2，c=0，
故f（x）的解析式為：f（x）=-x²+2x；
（2）由（1）可知f（x）=-x²+2x，
其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x=1，
故可取區間P=[1，2]，滿足題意；
（3）假設存在實數m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和42m，4n]，
由（1）可知f（x）=-x²+2x=-（x-1）2+1≤1，故4n≤1，故m＜n≤，
又函數f（x）的對稱軸為x=1，拋物線的開口向下，
故f（x）在區間[m，n]單調遞增，
則有f（m）=4m，f（n）=4n，即m，n為方程-x²+2x=4x的實根，
解得x=0或x=-2，結合m＜n可得m=-2，n=0，
故存在m=-2，n=0符合題意．
點評：本題考查二次函數的性質，涉及函數的單調性和存在性問題，屬中檔題．