Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都為a，P為A₁B上的點．
（1）試確定的值，使得PC⊥AB；
（2）若，求二面角P-AC-B的大小；
（3）在（2）的條件下，求C₁到平面PAC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）先建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，直接根據PC⊥AB對應的數量積為0即可求出點P的位置；
（2）先根據條件求出點P的坐標，再求出兩個平面的法向量，代入向量的夾角計算公式即可求出結論；
（3）直接利用公式h=||•cos＜＞計算即可．
解答：解：以A為原點，AB為X軸，過點A且與AB垂直的直線為Y軸，AA₁為Z軸，建立空間直角坐標系A-XYZ；
則B（a，0，0），A₁（0，0，a）；C（，a，0），P（x，0，x）；
（1）由=0⇒（x-，-a，z）•（a，0，0）=0，
即（x-）•a=0，x=，
所以：P為AB的中點；
即=1時，PC⊥AB；
（2）當時，即=，
得（x，0，z-a）=（a-x，0，-z）
⇒，
所以：P（，0，）．
設平面PAC的一個法向量=（b，c，d）
則⇒
即⇒；
取b=3，則c=-，d=-2．
∴=（3，-，-2），
又平面ABC的一個法向量=（0，0，1），
∴cos＜＞===-．
∴二面角P-AC-B的大小180°-120°=60°．
（3）設C₁到平面PAC的距離為h，
則h=||•cos＜＞===．
故C₁到平面PAC的距離為．
點評：本題是對立體幾何知識的綜合考察，其中涉及到點到面的距離，二面角，線線垂直等知識，屬于綜合性很強的題目，要認真分析．