Question

在△ABC中，角B=45°，角B的對邊b=2，若這樣的三角形有且只有一解，則角A的對邊a的取值范圍為

（0，2]∪{2

2

}

．

Answer 1

分析：由B的度數求出sinB的值，再由b的值，利用正弦定理得出a與sinA的關系式，同時由B的度數求出A+C的度數，再根據三角形只有一解，可得A只有一個值，根據正弦函數的圖象與性質得到A的范圍，且當A為直角時，也滿足題意，進而由A的范圍，求出正弦函數的值域，根據a與sinA的關系式，由正弦函數的值域即可可得出a的范圍．

解答：解：∵B=45°，b=2，
根據正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=2

2

，
∴a=2

2

sinA，
又A+C=180°-45°=135°，且三角形只一解，可得A有一個值，
∴0＜A≤45°，
又A=90°時，三角形也只有一解，
∴0＜sinA≤

2

2

，或sinA=1，
又a=2

2

sinA，
∴a的取值范圍為（0，2]∪{2

2

}．
故答案為：（0，2]∪{2

2

}

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，正弦函數的圖象與性質，正弦函數的定義域和值域，以及特殊角的三角函數值，考查了學生綜合分析問題及基本運算的能力，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．