Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求證：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求點C到平面APB的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證PC⊥AB，取AB中點D，連接PD，CD，可先證AB⊥平面PCD，欲證AB⊥平面PCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB與平面PCD內兩相交直線垂直，而PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD=D，滿足定理條件；
（Ⅱ）取AP中點E．連接BE，CE，根據二面角平面角的定義可知∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，在△BCE中求出此角即可；
（Ⅲ）過C作CH⊥PD，垂足為H，易知CH的長即為點C到平面APB的距離，在Rt△PCD中利用勾股定理等知識求出CH即可．

解答：解：（Ⅰ）取AB中點D，連接PD，CD．
∵AP=BP，∴PD⊥AB．
∵AC=BC，∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB．
（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．
取AP中點E．連接BE，CE．
∵AB=BP，∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC內的射影，∴CE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，BC=2，BE=

3

2

AB=

6

，CE=

2

cos∠BEC=

3

3

．∴二面角B-AP-C的大小arccos

3

3

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．
過C作CH⊥PD，垂足為H．
∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．
∴CH的長即為點C到平面APB的距離．
由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴PC⊥平面ABC．
∵CD?平面ABC，∴PC⊥CD．
在Rt△PCD中，CD=

1

2

AB=

2

，PD=

3

2

PB=

6

，
∴PC=

PD2-CD2

=2．∴CH=

PC•CD

PD

=

2 3

3

．
∴點C到平面APB的距離為

2 3

3

．

點評：本題主要考查了空間兩直線的位置關系，以及二面角的度量和點到面的距離的求解，培養學生空間想象能力，屬于基礎題．