Question

已知函數f（x）=e^x，其圖象在點P（2，f（2））處的切線為l．
（1）求y=f（x）、直線x=2及兩坐標軸圍成的圖形繞x軸旋轉一周所得幾何體的體積；
（2）求y=f（x）、直線l及y軸圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）本題要求的是一個旋轉體的體積，看清組成圖形的最主要的曲線，和組成圖形的兩個端點處的數據，用定積分寫出體積的表示形式，得到結果．
（2）首先求出曲線在定點的切線，用上方的曲線的解析式減去下方曲線的解析式，把兩個解析式做差以后，在0到2上積分，得到結果．

解答：解：（1）f（x）=e^x、直線x=2及兩坐標軸圍成的圖形繞x軸旋轉一周所得幾何體的體積是
V=

∫

2 0

π(ex)2dx=

π

2

e2x

.

2 0

=

π

2

(e4-1)
（2）函數f（x）=e^x，其圖象在點P（2，f（2））處的切線為l．
直線l的斜率k=f'（2）=e²，
則直線方程為：y=e²x-e²
∴S=

∫

2 0

[ex-(e2x-e2)]dx=(ex-

e2

2

x2+e2x)

.

2 0

=e2-1

點評：本題考查用定積分求幾何體的面積和體積，這是高中階段所學的定積分的簡單應用，解題時只要注意到體積和面積主要是由哪一條曲線構成就可以．