Question

過原點向曲線y=x³+2x²+a可作三條切線，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設出切點的坐標，求出曲線方程的導函數，把設出的切點的橫坐標代入導函數中表示出切線方程的斜率k，由切點坐標和斜率寫出切線方程，把原點坐標代入得到一個方程，設方程左邊的函數為h（x），求出h（x）導函數為0時x的值，利用x的值分區間討論導函數的正負，得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到h（x）的極大值和極小值，令極大值大于0，極小值小于0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意的a的取值范圍．

解答：解：設切點坐標為（x₀，x₀³+2x₀²+a），而切線的斜率k=y′=3x₀²+4x₀，
所以切線方程為：y-（x₀³+2x₀²+a）=（3x₀²+4x₀）（x-x₀），
把原點（0，0）代入得：2x₀³+2x₀²-a，
所以過原點向曲線y=x³+2x²+a可作三條切線，方程2x₀³+2x₀²-a=0有三個不同的實數解，
設h（x）=2x³+2x²-a，所以令h′（x）=6x²+4x=2x（3x+2）=0，解得x=0或x=-

2

3

，
則x，h′（x），h（x）的變化如下圖：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，0）	0	（0，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

根據圖形可知：h（x）_極大值=h（-

2

3

）=

8

27

-a，h（x）_極小值=h（0）=-a，
根據題意

h(- 2 3 )＞0 h(0)＜0

，即

8 27 -a＞0 -a＜0

，解得：0＜a＜

8

27

，
則實數a的取值范圍是（0，

8

27

）．
故答案為：（0，

8

27

）

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負得到函數的單調區間并根據函數的增減性得到函數的極值，是一道中檔題．