Question

設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，且3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，則∠C等于（　　）

A．45°

B．60°

C．75°

D．90°

Answer 1

分析：將題中向量等式移項(xiàng)并兩邊平方，得9

OA

2+24

OA

•

OB

+16

OB

2=25

OC

2，結(jié)合

|OA|

=

|OB|

=

|OC|

化簡(jiǎn)得

OA

•

OB

=0，從而得到∠AOB=90°，最后用圓周角定理即得∠C=

1

2

∠AOB=45°．

解答：解：∵3

OA

+4

OB

+5

OC

=

0

，
∴移項(xiàng)得3

OA

+4

OB

=-5

OC

兩邊平方得，9

OA

2+24

OA

•

OB

+16

OB

2=25

OC

2
∵O為△ABC的外接圓的圓心，
∴

|OA|

=

|OB|

=

|OC|

，上式化簡(jiǎn)為24

OA

•

OB

=0
因此

OA

⊥

OB

，即∠AOB=90°
∵⊙0中，∠AOB是圓心角，而∠C是同弧所對(duì)的圓周角
∴∠C=

1

2

∠AOB=45°
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形ABC外接圓圓心為0，在已知向量關(guān)系式的情況下求∠C的大小，著重考查了平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、向量在幾何中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．