Question

從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分

A．選修4—1　幾何證明選講

如圖，設△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D。求證：。

B．選修4—2　矩陣與變換

在平面直角坐標系中，設橢圓在矩陣對應的變換作用下得到曲線F，求F的方程。

C．選修4—4　參數方程與極坐標

在平面直角坐標系中，點是橢圓上的一個動點，求的最大值。

D．選修4—5　不等式證明選講

設a，b，c為正實數，求證：。

Answer 1

A．證明見解析。

B．

C．2

D．證明見解析。

解析:

A．證明：如圖，因為 是圓的切線，

      所以，,

      又因為是的平分線，

      所以

      從而

      因為 ,

          

      所以 ,故.

      因為 是圓的切線，所以由切割線定理知,

      ,

     而,所以

B．解：設是橢圓上任意一點，點在矩陣對應的變換下變為點

 則有

，即，所以

  又因為點在橢圓上，故，從而

 所以，曲線的方程是

C．解： 因橢圓的參數方程為

     故可設動點的坐標為，其中.

     因此

     所以，當時，取最大值2

D．證明：因為為正實數，由平均不等式可得

      即  

      所以，

      而

      所以