Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cos（

π

4

-2x）），

b

=（1+sin（2x+

π

4

），1），x∈R，且函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

π

8

，3)，
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)x的值的集合．

Answer 1

分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為 m[1+2sin（2x+

π

4

）]，再由y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

π

8

，3)，可得m（1+2sin

π

2

）=3，求得 m的值．
（2）由（Ⅰ）得當(dāng)sin(2x+

π

4

)=-1時(shí)，f（x）的最小值為-1，此時(shí)，由sin(2x+

π

4

)=-1，可得2x+

π

4

=2 kπ-

π

2

，k∈z，從而求得x值的集合．

解答：解：（1）∵f(x)=a•b=m[1+sin(2x+

π

4

)]+cos(

π

4

-2x)=m[1+sin(2x+

π

4

)]+sin(2x+

π

4

)，
由已知 f(

π

8

)=m(1+2sin

π

2

)=3，求得m=1．…（6分）
（2）由（Ⅰ）得f(x)=1+2sin(2x+

π

4

)，∴當(dāng)sin(2x+

π

4

)=-1時(shí)，f（x）的最小值為-1，
此時(shí)，sin(2x+

π

4

)=-1，故有 2x+

π

4

=2 kπ-

π

2

，k∈z，求得x值的集合為{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．