Question

如圖，江北水城湖畔有一塊邊長為2a的等邊三角形的草坪，在這塊草坪內安裝灌溉水管DE，使DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
①設AD=x（x≥0），DE=y，求y關于x的函數關系式；
②為節約成本，應如何安裝，才能使灌溉水管DE最短，最短是多少？

Answer 1

分析：①先根據S_△ADE=

1

2

S_△ABC求得x和AE的關系，進而根據余弦定理把x和AE的關系代入求得x和y的關系．
②根據均值不等式求得y的最小值，求得等號成立時的x的值即可．

解答：解：①∵S△ADE=

1

2

S△ABC，∴

3

2

a2=

1

2

x×AE×sin60°，
∴AE=

2a2

x

，（2分）
在△ADE中，y2=x2+AE2-2x•AE•cos60°=x2+AE2-x•AE=x2+(

2a2

x

)2-2a2，
∵y＞0，∴y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

（6分）
又AE=

2a2

x

≤2a，∴x≥a，∵D在AB上，∴x≤2a，
∴y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

（a≤x≤2a）                             （8分）
②y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

≥

2•2a2-2a2

=

2

a，
當且僅當x2=

4a4

x2

，即x=

2

a時“=”成立，（10分）
此時AE=

2a2

x

=

2a2

2 a

=

2

a，∴使AD=AE=

2

a時，DE最短，最短為

2

a．（12分）

點評：本題主要考查了基本不等式，以及函數的單調型求最值，考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力，屬于綜合題．