Question

如圖，江北水城湖畔有一塊邊長為2a的等邊三角形的草坪，在這塊草坪內(nèi)安裝灌溉水管DE，使DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
①設(shè)AD=x（x≥0），DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②為節(jié)約成本，應(yīng)如何安裝，才能使灌溉水管DE最短，最短是多少？

Answer 1

解：①∵，∴，
∴AE=，
在△ADE中，，
∵y＞0，∴
又AE=≤2a，∴x≥a，∵D在AB上，∴x≤2a，
∴（a≤x≤2a）
②，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時“=”成立，
此時，∴使AD=AE=時，DE最短，最短為．
分析：①先根據(jù)S_△ADE=S_△ABC求得x和AE的關(guān)系，進而根據(jù)余弦定理把x和AE的關(guān)系代入求得x和y的關(guān)系．
②根據(jù)均值不等式求得y的最小值，求得等號成立時的x的值即可．
點評：本題主要考查了基本不等式，以及函數(shù)的單調(diào)型求最值，考查了學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于綜合題．