Question

已知直線l：mx+ny-1=0（m，n∈R^*）與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，且直線l與圓x²+y²=4相交所得弦長為2．
（Ⅰ）求出m與n的關系式；
（Ⅱ）若直線l與直線2x+y+5=0平行，求直線l的方程；
（Ⅲ）若點P是可行域

2x+y-8≥0 x-y-2≥0 x≤4

內的一個點，是否存在實數m，n使得|OA|+|OB|的最小值為2

6

，且直線l經過點P？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由圓的方程找出圓心坐標和半徑r，由直線l被圓截得的弦長與半徑，根據垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線l的距離，然后再利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離，兩者相等列出關系式，整理后求出m²+n²的值，
（II）根據直線平行的條件求出m=2n，再代入（I）求得式子，即可求得所求的直線的方程．
（III）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數m，n使得|OA|+|OB|的最小值為2

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，且直線l經過點P．再利用線性規劃的方法，研究取得最值的條件，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）由圓x²+y²=4的方程，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=2，
∵直線l與圓x²+y²=4相交所得弦CD=2，
∴圓心到直線l的距離d═

r2-( CD 2 )2

=

3

，
∴圓心到直線l：mx+ny-1=0的距離d═

1

m2+n2

=

3

，
整理得：m²+n²=

1

3

，
（II）直線l：mx+ny-1=0的斜率為-

m

n

，直線2x+y+5=0的斜率為-2，∴-

m

n

=-2，m=2n
結合（I）得m=

2 15

15

，n=

15

15

，
故所求的直線的方程為 2x+y-

15

=0，
（III）令直線l解析式中y=0，解得：x=

1

m

，
∴A（

1

m

，0），即OA=

1

m

，
令x=0，解得：y=

1

n

，∴B（0，

1

n

），即OB=

1

n

，
則OA+OB=

1

m

+

1

n

≥2

1 mn

≥2

6

，當且僅當m=n=

6

6

時，OA+OB取最小值．此時直線l的方程為：
x+y-

6

=0，如圖，作出可行域

2x+y-8≥0 x-y-2≥0 x≤4

的圖形，是一個三角形ABC及其內部，而△ABC及其內部
都在直線x+y-

6

=0的同側，與直線x+y-

6

=0沒有公共點，
所以不存在滿足條件的直線l，即不存在實數m，n使得|OA|+|OB|的最小值為2

6

，且直線l經過點P．

點評：本小題主要考查點到直線的距離公式、直線的一般式方程與直線的平行關系、簡單線性規劃等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．