Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知“葫蘆”曲線C由圓弧C₁與圓弧C₂相接而成，兩相接點M，N均在直線y=-上．圓弧C₁所在圓的圓心是坐標原點O，半徑為r₁=2；圓弧C₂過點A（0，-6）．
（Ⅰ）求圓弧C₂的方程；
（Ⅱ）已知直線l：mx-y-3=0與“葫蘆”曲線C交于E，F兩點．當|EF|=4+4時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據條件確定圓弧C₂對應的圓心和半徑即可．（Ⅱ）
解答：解：（Ⅰ）因為圓弧C₁所在圓的圓心是坐標原點O，半徑為r₁=2，所以BM=．
所以M（-），N（），
設圓弧C₂的圓心為（0，b），b＜0，半徑為r．
則圓的標準方程為x²+（y-b）²=r²，
則因為圓弧C₂過點N（）和A（0，-6），
所以，解得b=，r=3，
所以圓弧C₂的方程為．
（Ⅱ）直線mx-y-3=0過圓弧C₂的圓心，因為圓弧C₂的直徑為6≤4+4，所以直線與兩個圓分別相交．

設圓弧C₂的圓心為D，設F（x，y），則DE=3，所以DF=EF-DE=4+4-3=4+．
則，
即，
因為x²+y²=4，所以，即6，
解得y=，代入x²+y²=4，解得x=，
即F（）或（-），
所以代入直線mx-y-3=0，解得m=2或-2．
所以直線方程為：2x-或2x+．
點評：本題主要考查圓的標準方程的求法以及直線與圓的位置關系的應用，綜合性較強，運算量較大，考查學生的運算能力．