Question

【題目】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，如圖．

（1）求證：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F，并證明：A1E＝EF＝FC.

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD B1C1 ， 所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1∥C1D.又因為C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因為AB1∩B1D1＝B1 ， AB1 平面AB1D1 ， B1D1 平面AB1D1 ， 所以平面AB1D1∥平面C1BD.

（2）證明：如圖，設A1C1與B1D1交于點O1 ， 連接AO1 ， 與A1C交于點E.
因為AO1 平面AB1D1 ，
所以點E也在平面AB1D1內，所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點．
連接AC交BD于O，連接C1O與A1C交于點F，則點F就是A1C與平面C1BD的交點．
下面證明A1E＝EF＝FC.
因為平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1 ， 平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中點，所以E是A1F的中點，
即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC
【解析】（1）結合 正方體的結構特征，可以證明平面AB1D1內有兩條相交直線都∥平面C1BD.得證；
（2）通過面面平行的性質，證明出平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，再在三角形中由中點的性質證明。