Question

（本小題共14分）

已知，動點到定點的距離比到定直線的距離小.

（I）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設是軌跡上異于原點的兩個不同點，,求面積的最小值；

（Ⅲ）在軌跡上是否存在兩點關于直線對稱？若存在，求出直線 的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

（本題滿分14分）  

解：（Ⅰ）∵動點到定點與到定直線的距離相等

∴點的軌跡為拋物線，軌跡的方程為：.      ……………4分

（Ⅱ）設

∵

∴

∵

∴

∴

=

=

=

∴當且僅當時取等號，面積最小值為.      ……………9分

（Ⅲ）設關于直線對稱，且中點

∵  在軌跡上

∴

         兩式相減得：

∴

∴

∵在上

∴，點在拋物線外

∴在軌跡上不存在兩點關于直線對稱.                   ……………14分