Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，短軸長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（不是橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)．

求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（本小題滿分13分）

解: （Ⅰ）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，則

      解得 

∴ 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為   ．               ………………… 4分

（Ⅱ）由方程組   消去，得

  ．                ………………… 6分

由題意△，  

整理得：    ①                        ………………7分

設(shè)，則

，  ．            ………………… 8分

由已知，， 且橢圓的右頂點(diǎn)為，

∴　．　　           　　………………… 10分

即  ，

也即  ，

整理得．

解得  或 ，均滿足①         ……………………… 11分

當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過定點(diǎn)，不符合題意舍去；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過定點(diǎn)，

故直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為．        ……………………… 13分