Question

已知函數x,y滿足x≥1,y≥1  log_a²x+log_a²y=log_a(ax²)+log_a(ay²)(a>0且a≠1),求log_a(xy)的取值范圍.

Answer 1

當a>1時，log_axy的最大值為2+2，最小值為1+；

當0＜a＜1時，log_axy的最大值為1－，最小值為2－2.

解析:

由已知等式得  log_a²x+log_a²y=(1+2log_ax)+(1+2log_ay),

即(log_ax－1)²+(log_ay－1)²=4,       

令u=log_ax,v=log_ay,k=log_axy,則(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0),k=u+v.

在直角坐標系uOv內，

圓弧(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0)與平行直線系v=－u+k有公共點，

分兩類討論:

(1)當u≥0,v≥0時，即a>1時，結合判別式法與代點法得

1+≤k≤2(1+);

(2)當u≤0,v≤0,即0＜a＜1時，同理得到2(1－)≤k≤1－. 

綜上，當a>1時，log_axy的最大值為2+2，最小值為1+；

當0＜a＜1時，log_axy的最大值為1－，最小值為2－2.