Question

17．分別求滿足下列條件的橢圓方程
（1）已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點p₁（$\sqrt{6}$，1），p₂（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$）；
（2）已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P（3，0）．

Answer 1

分析 （1）設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0且m≠n），把P₁，P₂代入橢圓方程求得m，n的值，則橢圓方程可求；
（2）分焦點在x軸上和焦點在y軸上設出橢圓的標準方程，結合已知條件列式求得a，b的值，則橢圓方程可求．

解答 解：（1）設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0且m≠n）．
∵橢圓經過點P₁，P₂，∴點P₁，P₂的坐標適合橢圓方程．
則$\left\{\begin{array}{l}{6m+n=1①}\\{3m+2n=1②}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{9}}\\{n=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）若焦點在x軸上，設方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵橢圓過P（3，0），∴$\frac{9}{{a}^{2}}=1$，即a=3，
又2a=3×2b，∴b=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1．
若焦點在y軸上，設方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
∵橢圓過點P（3，0）．∴$\frac{9}{{b}^{2}}=1$，即b=3．
又2a=3×2b，∴a=9，
則橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{81}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．
∴所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1或$\frac{{y}^{2}}{81}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，訓練了待定系數法求曲線方程，是基礎題．