Question

已知直線l：y=x+，圓O：x²+y²=5，橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率e=．直線l截圓O所得的弦長與橢圓的短軸長相等．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線．若切線都存在斜率，求證這兩條切線互相垂直．

Answer 1

（Ⅰ）解：設橢圓的半焦距為c，圓心O到l的距離為
∴直線l圓O截得的弦長
∵直線l圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等
∴
∵橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率e=．
∴
∴a²=3
∴橢圓E的方程為+=1；
（Ⅱ）證明：設P（x₀，y₀），過點P的橢圓的切線方程為y-y₀=k（x-x₀），即y=kx+y₀-kx₀，
代入橢圓方程，消去y可得：（3+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（y₀-kx₀）²-6=0
∴△=[4k（y₀-kx₀）]²-4（3+2k²）[2（y₀-kx₀）²-6]=0
即（）k²+2kx₀y₀-（）=0
∴兩條切線的斜率的積為-
∵點P在圓O上，∴，∴-=-=-1
∴兩條切線的斜率的積為-1
∴兩條切線互相垂直．
分析：（Ⅰ）先求直線l圓O截得的弦長，進而可得橢圓的短軸長，利用橢圓的離心率e=，即可確定橢圓E的方程；
（Ⅱ）設過點P的橢圓的切線方程，代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，利用判別式為0得方程，利用韋達定理，及點P在圓O上，即可計算得兩條切線的斜率的積，從而可得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，聯立方程，計算斜率是關鍵．