Question

已知直線l：y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，且線段AB的中點為（

2

3

， 

1

3

)．
（1）求此橢圓的離心率．
（2）若橢圓右焦點關于直線l：y=-x+1的對稱點在圓x²+y²=5上，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯立直線與橢圓的方程得關于x的一元二次方程；設出A、B兩點的坐標，由根與系數的關系，可得x₁+x₂，y₁+y₂；從而得線段AB的中點坐標，得出a、c的關系，從而求得橢圓的離心率．
（Ⅱ）設橢圓的右焦點坐標為F（c，0），F關于直線l的對稱點為（1，1-c），代入圓的方程 x²+y²=1，得出c的值，從而得橢圓的方程．

解答：解：（1）由

y=-x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

得（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0
△=4a⁴-4（a²+b²）（a²-a²b²）＞0⇒a²+b²＞1
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2a2

b2+a2

∵線段AB的中點為（

2

3

， 

1

3

)，
∴

2a2

b2+a2

=

4

3

，于是得：a²=2b²
又 a²=b²+c²，∴a²=2c²，∴e=

2

2

（2）設橢圓的右焦點為F（c，0），則點F關于直線l：y=-x+1的對稱點P（1，1-c）
由已知點P在圓x²+y²=5上，
∴1+（1-c）²=5，整理得c²-2c-3=0，解得c=3或c=-1
∵c＞0，∴c=3，從而a²=18，b²=c²=9，
所求的橢圓方程為：

x2

18

+

y2

9

=1

點評：本題考查了橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質、直線與橢圓的綜合應用問題，也考查了一定的邏輯思維能力和計算能力．解題時應細心解答．