Question

已知直線l：ax+by=1（ab＞0）經過點P（1，4），則l在兩坐標軸上的截距之和的最小值是

9

．

Answer 1

分析：由條件可得a+4b=1，再利用1的代換和基本不等式求得直線l在兩坐標軸上的截距之和 

1

a

+

1

b

 的最小值．

解答：解：∵直線l：ax+by=1（ab＞0）經過點P（1，4），∴a+4b=1，故a、b 都是正數．
故直線l：ax+by=1，此直線在x、y軸上的截距分別為

1

a

、

1

b

，
則l在兩坐標軸上的截距之和為

1

a

+

1

b

=

a+4b

a

+

a+4b

b

=5+

4b

a

+

a

b

≥5+2

4b a • a b

=9，
當且僅當

4b

a

=

a

b

時，取等號，
故答案為9．

點評：本題主要考查直線在坐標軸上的截距定義，利用基本不等式求最值，注意把握好一定，二正，三相等的原則．