Question

（（本小題滿分12分）

設函數．

（Ⅰ）當時，過原點的直線與函數的圖象相切于點P，求點P的坐標；

（Ⅱ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅲ）當時，設函數，若對于]，[0，1]

使≥成立，求實數b的取值范圍.（是自然對數的底，）

 

 

Answer 1

【答案】

函數的定義域為，                     （2分）

（Ⅰ）設點，當時，，則，，∴                            （3分）

解得，故點P 的坐標為                                （4分）

（Ⅱ）

∵  ∴                                            （5分）

∴當，或時，當時，

故當時，函數的單調遞增區間為；

單調遞減區間為，                                       （7分）

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）可知函數在上是減函數，在上為增函數，在上為減函數，且，

∵，又，∴，

∴，故函數在上的最小值為                       （9分）

若對于，使 ≥成立在上的最小值不大于

在上的最小值（*）                                         （10分）

又，

①當時，在上為增函數，與（*）矛盾

②當時，，由及得，

③當時，在上為減函數，，

此時                                                              

綜上，的取值范圍是                                           （12分）

 

【解析】略