Question

（本小題共14分）

已知橢圓C：，左焦點，且離心率

(Ⅰ）求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若直線與橢圓C交于不同的兩點（不是左、右頂點），且以為直徑的圓經過橢圓C的右頂點A.   求證：直線過定點,并求出定點的坐標.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 直線過定點，且定點的坐標為 

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）由題意可知：   ……1分

解得                  ………2分

所以橢圓的方程為：                         ……3分

（II）證明：由方程組   …4分

整理得                         ………..5分

設

則             …….6分

由已知，且橢圓的右頂點為         ………7分

                  ………    8分   

即

也即  …… 10分

整理得：                       ……11分

解得均滿足                       ……12分

當時，直線的方程為，過定點（2，0）與題意矛盾舍去……13分

當時，直線的方程為,過定點    

故直線過定點，且定點的坐標為                          …….14分

考點：直線與橢圓的位置關系

點評：解決的關鍵是熟練的根據橢圓的性質來得到橢圓的方程，同時能結合聯立方程組的思想來，韋達定理和垂直關系，得到直線方程，進而求解。屬于基礎題。