Question

在平面直角坐標系xOy中，己知圓P在x軸上截得線段長為2

2

，在y軸上截得線段長為2

3

．
（Ⅰ）求圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）若P點到直線y=x的距離為

2

2

，求圓P的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，可直接在弦心距、弦的一半及半徑三者組成的直角三角形中利用勾股定理建立關于點P的橫縱坐標的方程，整理即可得到所求的軌跡方程；
（Ⅱ）由題，可先由點到直線的距離公式建立關于點P的橫縱坐標的方程，將此方程與（I）所求的軌跡方程聯立，解出點P的坐標，進而解出圓的半徑即可寫出圓P的方程．

解答：解：（Ⅰ）設圓心P（x，y），由題意得x²+3=y²+2，整理得y²-x²=1即為圓心P的軌跡方程，此軌跡是等軸雙曲線
（Ⅱ）由P點到直線y=x的距離為

2

2

得，

2

2

=

|x-y|

2

，即|x-y|=1，即x=y+1或y=x+1，分別代入y²-x²=1解得P（0，-1）或P（0，1）
若P（0，-1），此時點P在y軸上，故半徑為

3

，所以圓P的方程為（y+1）²+x²=3；
若P（0，1），此時點P在y軸上，故半徑為

3

，所以圓P的方程為（y-1）²+x²=3；
綜上，圓P的方程為（y+1）²+x²=3或（y-1）²+x²=3

點評：本題考查求軌跡方程的方法解析法及點的直線的距離公式、圓的標準方程與圓的性質，解題的關鍵是理解圓的幾何特征，將幾何特征轉化為方程