Question

【題目】無窮數列滿足： 為正整數，且對任意正整數， 為前項， ， ， 中等于的項的個數.

（Ⅰ）若，請寫出數列的前7項；

（Ⅱ）求證：對于任意正整數，必存在，使得；

（Ⅲ）求證:“”是“存在，當時，恒有 成立”的充要條件。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題設條件，直接寫出即可；

（Ⅱ）假設存在正整數，使得對任意的， ，利用反證法證明即可；

（Ⅲ）可分充分性和必要性證明即可，當時，得數列滿足， ，當為偶數，則；當為奇數，則，即可證得充分性；再作出必要性的證明即可.

試題解析：

（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1

（Ⅱ）假設存在正整數，使得對任意的， . 由題意，

考慮數列的前項：

， ， ，…，

其中至少有項的取值相同，不妨設

此時有： ，矛盾.

故對于任意的正整數，必存在，使得.

（Ⅲ）充分性：

當時，數列為， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ， ，…

特別地， ， ，故對任意的

（1）若為偶數，則

（2）若為奇數，則

綜上， 恒成立，特別地，取有當時，恒有成立

方法一:假設存在（），使得“存在，當時，恒有成立”

則數列的前項為

， ， ， ， ， ， ， ，…， ， ， ，

， ， ， ， ，…， ， ， ，

， ， ，…， ， ， ，

， ， ， ，

， ，

后面的項順次為

， ， ， ，…， ，

， ， ， ，…， ，

， ， ， ，…， ，

……

對任意的，總存在，使得， ，這與矛盾，故若存在，當時，恒有成立，必有

方法二：若存在，當時， 恒成立，記.

由第（2）問的結論可知：存在，使得（由s的定義知）

不妨設是數列中第一個大于等于的項，即均小于等于s.

則.因為，所以，即且為正整數，所以.

記，由數列的定義可知，在中恰有t項等于1.

假設，則可設，其中，

考慮這t個1的前一項，即，

因為它們均為不超過s的正整數，且，所以中一定存在兩項相等，

將其記為a，則數列中相鄰兩項恰好為（a，1）的情況至少出現2次，但根據數列的定義可知：第二個a的后一項應該至少為2，不能為1，所以矛盾！

故假設不成立，所以，即必要性得證！

綜上，“”是“存在，當時，恒有成立”的充要條件.