Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面,且,.四邊形滿足,,.為側棱的中點，為側棱上的任意一點.

（1）若為的中點，求證: 面平面；

（2）是否存在點,使得直線與平面垂直? 若存在，寫出證明過程并求出線段的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）由面面垂直的性質定理可得平面,從而得，再結合，可得平面，又利用三角形中位線定理可得，進而可得結果；（2）過點作,垂足為，先證明平面,結合平面,得，從而可得平面，利用三角形面積相等即可得線段的長.

試題解析：（1）∵分別為側棱的中點，∴.

∵,∴.

∵面平面,且,面平面,

∴平面,結合平面,得.

又∵, ,∴平面,可得平面.

∴ 結合平面，得平面 平面.

（2）存在點，使得直線與平面垂直.

平面中，過點作,垂足為

∵由己知,,,.

∴根據平面幾何知識，可得.

又∵由（1）平面,得 ,且,

∴平面,結合平面,得.

又∵,∴平面.

在中，, ，,

∴，.

∴上存在點，使得直線與平面垂直，此時線段長為.