Question

（本小題滿分16分）

已知數列{a_n}的通項公式為（nÎN^*）．

（1）求數列{a_n}的最大項；

（2）設，試確定實常數p，使得{b_n}為等比數列；

（3）設，問：數列{a_n}中是否存在三項，，，

使數列，，是等差數列？如果存在，求出這三項；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（本小題滿分16分）

解：（1）由題意a_n = 2 + ,隨著n的增大而減小,所以{a_n}中的最大項為a₁ = 4．……………   4分

（2）b_n =  =  = ，

若{b_n}為等比數列，則b – b_nb_n+2= 0（nÎN^* ）

所以 [(2 + p)3ⁿ⁺¹ ＋(2 – p)]² – [(2 + p)3ⁿ ＋(2 – p)][(2 + p)3ⁿ⁺² ＋(2 – p)] = 0（nÎN^*），

化簡得（4 – p²）(2·3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ⁺² – 3ⁿ ）= 0即– (4 – p²）·3ⁿ·4 = 0, 解得p =±2．……………7分

反之,當p = 2時,b_n = 3ⁿ,{b_n}是等比數列;當p = – 2時,b_n = 1,{b_n}也是等比數列．

所以,當且僅當p = ±2時{b_n}為等比數列． ………………………………………………10分

（3）因為，，，

若存在三項，，，使數列，，是等差數列，則，

所以=，……………12分

化簡得（*），

因為，所以，，

所以，，

（*）的左邊，

右邊，所以（*）式不可能成立，

故數列{a_n}中不存在三項，，，使數列，，是等差數列． ………16分

附加題參考答案