Question

已知1≤x²+y²≤2,求證:≤x²-xy+y²≤3.

Answer 1

思路分析:由條件等式聯(lián)想到正、余弦的平方關(guān)系，可采用換元對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

證明:設(shè)x=rcosα,y=rsinα,α∈［0,2π),1≤r≤,則x²-xy+y²=r²-r²sinαcosα

=r²(1-sin2α).

∵≤1-sin2α≤,1≤r²≤2,

∴兩式相乘得≤r²(1-sin2α)≤3,

即≤x²-xy+y²≤3.