Question

已知1≤x²+y²≤2，則x²+xy+y²的取值范圍

 

．

Answer 1

分析：令x=asinθ，y=acosθ，t=x²+xy+y²，則有1≤x²+y²≤2，可得a的范圍，進而化簡t=x²+xy+y²可得t=（1+

1

2

sin2θ）a²，
由三角函數的性質，可得1+

1

2

sin2θ的范圍，計算可得答案．

解答：解：令x=asinθ，y=acosθ，t=x²+xy+y²，
則有1≤x²+y²≤2，可得1≤a≤

2

，
進而可得，t=x²+xy+y²=a²+a²sinθcosθ=（1+

1

2

sin2θ）a²，
由三角函數的性質，可得

1

2

≤（1+

1

2

sin2θ）≤

3

2

，
故

1

2

≤t≤3，
故答案為[

1

2

，3]．

點評：本題考查換元法在不等式中的應用，常見的換元方法有三角換元，要結合三角函數進行分析．