Question

【題目】已知函數，和直線m：，且．

求a的值；

是否存在k的值，使直線m既是曲線的切線，又是曲線的切線？如果存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) a=-2 (2) 公切線是y=9,此時k=0

【解析】

（1）計算f′(x)，進而由f′(－1)＝0可得解；

（2）直線m是曲線y＝g(x)的切線，設切點為(x0,3＋6x0＋12)，由導數得切線斜率，進而得切線方程，帶入(0,9) 得x0＝±1，再分別計算當f′(x)＝0或f′(x)＝12時的切線，進而找到公切線.

(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0.

即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.

(2)存在．

∵直線m恒過定點(0,9)，直線m是曲線y＝g(x)的切線，

設切點為(x0,3＋6x0＋12)，

∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切線方程為y－(3＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，

將點(0,9)代入，得x0＝±1.

當x0＝－1時，切線方程為y＝9；

當x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9.

由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0.

即有x＝－1或x＝2，

當x＝－1時，y＝f(x)的切線方程為y＝－18；

當x＝2時，y＝f(x)的切線方程為y＝9.

∴公切線是y＝9.

又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，

∴x＝0或x＝1.

當x＝0時，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11；

當x＝1時，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10，

∴公切線不是y＝12x＋9.

綜上所述公切線是y＝9，此時k＝0.