Question

已知函數y=f（x）的圖象是一條直線，且在兩坐標軸上的截距都是2，函數g（x）=x²-2x．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x滿足f（x）+g（x）＜2時，求

g(x)+1

2-f(x)

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用直線的截距式方程求解；
（Ⅱ）由f（x）+g（x）＜2求出x的取值范圍，然后利用基本不等式可求出

g(x)+1

2-f(x)

的最小值．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵函數y=f（x）的圖象是一條直線，且在兩坐標軸上的截距都是2
∴

x

2

+

y

2

=1即y=2-x，則f（x）=2-x----------------（4分）
（Ⅱ）由f（x）+g（x）＜2，得2-x+x²-2x＜2，即x²-3x＜0，解得0＜x＜3----------------------（8分）

g(x)+1

2-f(x)

=

x2-2x+1

x

=x+

1

x

-2≥2-2=0-------------（12分）
等號僅當x=

1

x

（0＜x＜3），即x=1時成立，
所以當x=1時

g(x)+1

2-f(x)

取最小值0--------（14分）

點評：本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應用，以及直線的截距式方程，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．