Question

已知函數(為實數)有極值，且在處的切線與直線平行．

（1）求實數的取值范圍；

（2）是否存在實數，使得函數的極小值為，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由；

（3）設,的導數為,令

求證：

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)存在.  (3)略

【解析】

（1）根據極值的信息，則選用導數法，先求f'（x），再由f（x）有極值，可有=a2-4b＞0，又由在x=-1處的切線與直線x-y+1=0平行，可得f'（-1）=1-a+b=1從而求解

（2）先假存在，則根據條件，則有關于a的不等式，進而得到范圍。

（3）構造函數利用導數的思想求解函數的最值得到證明

(1)∵,∴，

由題意∴，     ①      ……2分

∵有極值，∴方程有兩個不等實根．

∴、    ∴．    ②

由①、②可得，．   ∴或．

故實數的取值范圍是  …2分

(2)存在.……………1分   

由(1)令，

 

∴時，取極小值，則=,

∴……………………………………………………2分

若，即則 (舍)．……………………1分

若

∴存在實數,使得函數的極小值為1   ………1分

(3)∵,

  ……．l分

∴其中等號成立的條件為………………3分