Question

設函數f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（I） 當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（II）當a≠0時，求函數f（x）的極大值和極小值；
（Ⅲ）當a＞3時，在區間[-1，0]上是否存在實數k使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）當a=1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，且f′（x）=-3x²+4x-1，f′（2）=-5．由此能求出曲線y=-x（x-1）²在點（2，-2）處的切線方程．
（Ⅱ）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．令f′（x）=0，解得x=，或x=a．由a的符號進行分類討論，能求出函數f（x）的極大值和極小值．
（Ⅲ）假設在區間[-1，0]上存在實數k滿足題意．由a＞3，得，當k∈[-1，0]時，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．由f（x）在（-∞，1]上是減函數，知要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）≥f（k²-cos²x），x∈R，只要k-cosx≤k²-cos²x，（x∈R）．由此能推導出在區間[-1，0]上存在k=-1，使得f（x-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意的x∈R恒成立．…13分．
解答：解：（I）當a=1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，
且f′（x）=-3x²+4x-1，f′（2）=-5．
所以，曲線y=-x（x-1）²在點（2，-2）處的切線方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．…3分
（Ⅱ）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f′（x）=0，解得x=，或x=a．
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
（1）若a＞0，當變化時，f′（x）的正負如下表：

x	（-∞，）		（，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	↓		↑		↓

因此，函數f（x）在x=處取得極小值f（），且f（）=-a³；
函數f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=0．…5分
（2）若a＜0，當變化時，f′（x）的正負如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，）		（）
f′（x）	↓		↑		↓

因此，函數f（x）在x=a處取得極小值f（a），且f（a）=0；
函數f（x）在x=處取得極大值f（），且f（）=-a³． …8分
（Ⅲ）假設在區間[-1，0]上存在實數k滿足題意．
由a＞3，得，當k∈[-1，0]時，k-cosx≤1，
k²-cos²x≤1．
由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是減函數，
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）≥f（k²-cos²x），x∈R
只要k-cosx≤k²-cos²x，（x∈R）
即cos²x-cosx≤k²-k，（x∈R）①
設g（x）=cos²x-cosx=（cosx-）²-，則函數g（x）在R上的最大值為-．
要使①式恒成立，必須k²-k≥2，即k≥2，或k≤-1．
所以，在區間[-1，0]上存在k=-1，
使得f（x-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意的x∈R恒成立．…13分．
點評：本題考查曲線的切線方程式的求法，考查函數的極大值和極小值的求法，探索滿足條件的實數值的求法．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．