Question

（2012•上饒一模）已知數列{a_n}滿足：a1=1，an+1=

1 2 an+n，n為奇數 an-2n，n為偶數

，且bn=a2n-2，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求證：數列{b_n}為等比數列，并求其通項公式；
（3）若S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1，求S_2n+1．

Answer 1

分析：（1）直接把n=1，2，3代入已知遞推公式中即可求解a₂，a₃，a₄；
（2）由等比數列的定義，只要證明

bn

bn-1

為常數即可，然后結合等比數列的通項公式可求
（3）由a_2n=b_n+2，a_2n+1=a_2n-4n=b_n+2-4n，可利用分組求和，結合等差數列與等比數列的求和公式即可求解

解答：（1）解：∵a1=1，an+1=

1 2 an+n，n為奇數 an-2n，n為偶數

，
∴a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

…（2分）
（2）證明：由題意可得，當n≥2時，bn=a2n-2=a(2n-1)+1-2=

1

2

a2n-1+(2n-1)-2=

1

2

[a2n-2-2(2n-2)]+(2n-1)-2=

1

2

[a2(n-1)-2]=

1

2

bn-1
∴又b1=a2-2=-

1

2

，
∴數列{b_n}是以-

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數列
∴bn=-

1

2

•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n…（6分）
（3）解：∵a_2n=b_n+2，a_2n+1=a_2n-4n=b_n+2-4n
∴S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1=（a₂+a₄+…+a_2n）+（a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1）
=（b₁+b₂+…+b_n+2n）+[a₁+（b₁-4×1）+（b₂-4×2）+…+（b_n-4×n）+2n]
=a₁+2（b₁+b₂+…+b_n）-4×（1+2+…+n）+4n
=1-2×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-4×

n(n+1)

2

+4n=(

1

2

)n-1-2n2+2n-1．…（12分）

點評：本題 主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的項，等比數列的定義在等比數列的證明中的應用，分組求和方法及等比數列、等差數列的求和公式等 知識的綜合應用