Question

如圖所示：m個實a₁a₂…，a_m（m≥3且m∈N）依次按順時針方向圍成一個圓圈．
（1）已知a₁=1且a_n+1=a_n+

1

m(n+1)

（n∈N，n＜m），若a_m＞1.99恒成立，求m的最小值；
（2）設圓圈上按順時針方向任意相鄰的三個數a_p、a_q、a_r均滿足：a_q=λa_p+a_r（λ＞0），求證：a₁=a₂=…=a_m．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1且a_n+1=a_n+

1

m(n+1)

（n∈N，n＜m），推導出a_m=2-

1

m

，由此能求出m的最小值．
（2）由a_q=λa_p+（1-λ）a_r（λ＞0），得λ（a_p-a_q）=（1-λ）（a_r-a_q），當λ=1時，a₁=a₂=…=a_m成立．當λ≠1時，ar-aq=

λ

1-λ

(aq-ap)，由此利用分類討論思想能夠證明a₁=a₂=…=a_m．

解答：解：（1）∵a₁=1且a_n+1=a_n+

1

m(n+1)

（n∈N，n＜m），
∴am=a1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(m-1)m

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

m-1

-

1

m

=2-

1

m

，
∵a_n＞1.99（m∈N₊），
∴

1

m

＜0.01，∴m＞100，
于是，m的最小值為101．
（2）∵a_q=λa_p+（1-λ）a_r（λ＞0），
∴λ（a_p-a_q）=（1-λ）（a_r-a_q），
當λ=1時，a₁=a₂=…=a_m成立．
當λ≠1時，ar-aq=

λ

1-λ

(aq-ap)，
則數列{a_n-a_n-1}（2≤n≤m）是等比數列，于是：
a_m-a_m-1=（a₂-a₁）（

λ

1-λ

）^m-2，又a1-am=

λ

1-λ

(am-am-1)，
a2-a1=

λ

1-λ

(a1-am)，
∴a2-a1=(

λ

1-λ

)m(a2-a1)，
所以

λ

1-λ

=1，或a₂-a₁=0．
若a₂-a₁=0，則a₁=a₂=…=a_m．
若

λ

1-λ

=1，則λ=

1

2

，
此時數列{a_n}（1≤n≤m）為等差數列，設公差為d，
則a_m=a₁+（m-1）d，a_m-1=a₁+（m-2）d，
又am=

am-1+a1

2

，∴d=0，
∴a₁=a₂=…=a_m．
綜上所述：a₁=a₂=…=a_m．

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查推理誰能力和計算應用能力，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．