Question

 

如圖，點A在直線上的射影為點B在上的射影為，已知． 

（Ⅰ）求直線AB分別與平面所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一  

  (Ⅰ)如圖, 連接A₁B,  AB₁,        ………………………1分

  ∵⊥β, ∩β=l ,AA₁⊥l,  BB₁⊥l,

∴AA₁⊥β, BB₁⊥.

則∠BAB₁,∠ABA₁分別是AB與和β所成的………………3分

Rt△BB₁A中, BB₁= , AB=2,   

∴sin∠BAB₁ =  =  .

∴∠BAB₁=45°.    ………………… 4分

Rt△AA₁B中, AA₁=1,AB=2, sin∠ABA₁= =  ,

∴∠ABA₁= 30°.     ………………… 5分

故AB與平面,β所成的角分別是45°, 30°.  ………………… 6分

(Ⅱ) ∵BB₁⊥, 

    ∴平面ABB₁⊥.  

過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E,則A₁E⊥平面AB₁B.

過E作EF⊥AB交AB于F,連接 A₁F,則由三垂線定理得A₁F⊥AB,

∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.       ……………………8分

在Rt△ABB₁中,∠BAB₁=45°,

∴AB₁=B₁B=.    

在Rt△AA₁B₁中, AA₁ =1, AB₁ =.

∴A₁B₁. ∴A₁E==         ……………………9分

∴Rt△AA₁B中,A₁B== = . 由AA₁·A₁B=A₁F·AB得

A₁F== = ,                 ………………10分 

∴在Rt△A₁EF中,sin∠A₁FE =  = ,

∴二面角A₁－AB－B₁的大小為arcsin.    …………………12分