Question

（１９）如圖，點A在直線上的射影為點B在上的射影為已知求：

      

（I）直線AB分別與平面所成角的大小；

（II）二面角的大小。

 

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如圖，連接A₁B，AB_1,

∵α⊥β，α∩β=l，AA₁⊥l,BB₁⊥l，  ∴AA₁⊥β，BB₁⊥α，

則∠BAB₁，∠ABA₁分別是AB與α和β所成的角.

Rt△BB₁A中，BB₁=，AB=2，

∴sin∠BAB₁=,        ∴∠BAB₁=45°.

Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2.

∴sin∠ABA₁=,        ∴∠ABA₁=30°.

故AB與平面α,β所成的角分別是45°，30°.

（Ⅱ）∵BB₁⊥α，       

∴平面ABB₁⊥α，在平面α內過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，則A₁E⊥平面AB₁B.過E作EF⊥AB交AB于F，連接A₁F，則由三垂線定理得A₁F⊥AB，

∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.

在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，∴AB₁=B₁B=.

∴Rt△AA₁B₁中，AA₁=A₁B₁=1，∴A₁E=AB₁=.

在Rt△AA₁B中，A₁B=.     由  AA₁·A₁B=A₁F，AB得

A₁F=.      ∴在Rt△A₁EF中，sin∠A₁FE==.

∴二面角A₁－AB－B₁的大小為arcsin.

解法二：（Ⅰ）同解法一.

(Ⅱ)如圖，建立坐標系，則A₁（0，0，0），A（0，0，1），B₁（0，1，0）B（，1，0）.

在AB上取一點F（x,y,z），則存在t∈R，使得=t，

即  （x,y,z－1）=t(),∴點F的坐標為(t,t,1－t).

要使   ，須=0.

即（,t,1－t）·（,1,－1）=0，2t+t－(1－t)=0，解得t=,

∴點F的坐標為().∴().

設E為AB₁的中點，則點E的坐標為（0，）.

∴

又

∴，     ∴∠A₁FE為所求二面角的平面角.

又  cos∠A₁FE=

            

            

 ∴二面角A₁－AB－B₂的大小為arccos.